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西安電子科技大學數學分析考研大綱

一、考試總體要求與考試要點

1．考試對象

考試對象為具有全國碩士研究生入學考試資格并報考西安電子科技大學數學與統計學院碩士研究生的考生。

2．考試總體要求

測試考生對數學分析的基本內容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數學分析的基本理論、掌握數學分析的基本方法，具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。

3．考試內容和要點

(一) 實數集與函數
　　1、實數：實數的概念；實數的性質；絕對值不等式。
　　2、函數：函數的概念；函數的定義域和值域；復合函數；反函數。
　　3、函數的幾何特性：單調性；奇偶性；周期性。
　　要求：理解和掌握絕對值不等式的性質，會求解絕對值不等式；掌握函數的概念和表示方法，會求函數的定義域和值域，會證明具體函數的幾何特性。

(二) 數列極限
　　1、數列極限的概念（定義）。

　　2、數列極限的性質：唯一性；有界性；保號性。
　　3、數列極限存在的條件：單調有界準則；兩邊夾法則。
　　要求：理解和掌握數列極限的概念，會使用語言證明數列的極限；掌握數列極限的基本性質、運算法則以及數列極限的存在條件(單調有界原理和兩邊夾法則)，并能運用它們求數列極限；了解無窮小量和無窮大量的概念性質和運算法則，會比較無窮小量與無窮大量的階。
(三) 函數極限
　　1、函數極限的概念（定義、定義）；單側極限的概念。
　　2、函數極限的性質：唯一性；局部有界性；局部保號性。
　　3、函數極限存在的條件：海涅歸結原則。
　　4、兩個重要極限。
　　要求：理解和掌握函數極限的概念，會使用語言以及語言證明函數的極限；掌握函數極限的基本性質、運算法則，會使用海涅歸結原理證明函數極限不存在；掌握兩個重要極限并能利用它們來求極限；了解單側極限的概念以及求法。

(四) 函數連續
　　1、函數連續的概念：一點連續的定義；區間連續的定義；單側連續的定義；間斷點的分類。
　　2、連續函數的性質：局部性質及運算；閉區間上連續函數的性質（最值性、有界性、介值性、一致連續性）；復合函數的連續性；反函數的連續性。
　　3、初等函數的連續性。
　　要求：理解與掌握函數連續性、一致連續性的定義以及它們的區別和聯系，會證明具體函數的連續以及一致連續性；理解與掌握函數間斷點的分類；能正確敘述并簡單應用閉區間上連續函數的性質；了解反函數、復合函數以及初等函數的連續性。

（五）實數系六大基本定理及應用
　　1、實數系六大基本定理：確界存在定理；單調有界定理；閉區間套定理；致密性定理；柯西收斂準則；有限覆蓋定理。
　　2、閉區間上連續函數性質的證明：有界性定理的證明；最值性定理的證明；介值性定理的證明；一致連續性定理的證明。
　　要求：理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數集的上、下確界；理解和掌握閉區間上連續函數性質及其證明；能正確敘述實數系六大基本定理的內容及其證明思想，會使用開覆蓋以及二分法構造區間套進行簡單證明。

（六）導數與微分
　　1、導數概念：導數的定義；單側導數；導數的幾何意義。
　　2、求導法則：初等函數的求導；反函數的求導；復合函數的求導；隱函數的求導；參數方程的求導；導數的運算(四則運算)。
　　3、微分：微分的定義；微分的運算法則；微分的應用。
　　4、高階導數與高階微分。
　　要求：能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求具體函數的（高階）導數和微分；理解和掌握可導與可微、可導與連續的概念及其相互關系；掌握左、右導數的概念以及分段函數求導方法，了解導函數的介值定理。
（七）微分學基本定理
　　1、中值定理：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。
　　2、泰勒公式。
　　要求：理解和掌握中值定理的內容、證明及其應用；了解泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠把某些函數按泰勒公式展開

（八）導數的應用

1、函數的單調性與極值。
　　2、函數凹凸性與拐點。　　

3、幾種特殊類型的未定式極限與洛必達法則。
　　要求：理解和掌握函數的單調性和凹凸性，會使用這些性質求函數的極值點以及拐點；能根據函數的單調性、凹凸性、拐點、漸近線等進行作圖；能熟練地運用洛必達法則求未定式的極限。
（九）不定積分
　　1、不定積分概念。
　　2、換元積分法與分部積分法。
　　3、有理函數的積分。
　　要求：理解和掌握原函數和不定積分概念以及它們的關系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數、有理函數、三角函數的不定積分。

（十）定積分
　　1、定積分的概念；定積分的幾何意義。
　　2、定積分存在的條件：可積的必要條件和充要條件；達布上和與達布下和；可積函數類(連續函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)。
　　3、定積分的性質：四則運算；絕對值性質；區間可加性；不等式性質；積分中值定理。

4、定積分的計算：變上限積分函數；牛頓-萊布尼茲公式；換元公式；分部積分公式。

要求：理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數類；熟練掌握和運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。

（十一）定積分的應用
　　1、定積分的幾何應用：微元法；求平面圖形的面積；求平面曲線的弧長；求已知截面面積的立體或者旋轉體的體積；求旋轉曲面的面積。
　　2、定積分的物理應用：求質心；求功；求液體壓力。
　　要求：理解和掌握"微元法"；掌握定積分的幾何應用；了解定積分的物理應用。

（十二）數項級數
　　1、預備知識：上、下極限；無窮級數收斂、發散的概念；收斂級數的基本性質；柯西收斂原理。
　　2、正項級數：比較判別法；達朗貝爾判別法；柯西判別法；積分判別法。
　　3、任意項級數：絕對收斂與條件收斂的概念及其性質；交錯級數與萊布尼茲判別法；阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
　　要求：理解和掌握正項級數的收斂判別法以及交錯級數的萊布尼茲判別法；掌握一般項級數的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解上、下極限的概念和性質以及絕對收斂和條件收斂的概念和性質。

（十三）反常積分
　　1、無窮限的反常積分：無窮限的反常積分的概念；無窮限的反常積分的斂散性判別法。
　　2、無界函數的反常積分：無界函數的反常積分的概念；無界函數的反常積分的斂散性判別法。
　　要求：理解和掌握反常積分的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準則，會判斷某些反常積分的斂散性。

（十四）函數項級數
　　1、一致收斂的概念。　　

2、一致收斂的性質：連續性定理；可積性定理；可導性定理。

3、一致收斂的判別法；M-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判別法。
　　要求：理解和掌握一致收斂的概念、性質及其證明；能夠熟練地運用M-判別法判斷一些函數項級數的一致收斂性。

（十五）冪級數
　　1、冪級數的概念以及冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域。
　　2、冪級數的性質。

3、函數展開成冪級數。
　　要求：理解和掌握冪級數的概念，會求冪級數的和函數以及它的收斂半徑、收斂區間、收斂域；掌握冪級數的性質以及兩種將函數展開成冪級數的方法，會把一些函數直接或者間接展開成冪級數。

（十六）傅里葉級數
　 1、傅里葉級數：三角函數系的正交性；傅里葉系數。
　　2、以為周期的函數的傅里葉級數。

3、以2L為周期的傅里葉級數。
　　4、收斂定理的證明。

5、傅里葉變換。
　　要求：理解和掌握三角函數系的正交性與傅里葉級數的概念；掌握傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數；了解收斂定理的證明以及傅里葉變換的概念和性質。

（十七）多元函數極限與連續
　　1、平面點集與多元函數的概念。
　　2、二元函數的二重極限、二次極限。
　　3、二元函數的連續性。
　　要求：理解和掌握二元函數的二重極限、二次極限的概念以及它們之間的關系，會計算一些簡單的二元函數的二重極限和二次極限；掌握平面點集、聚點的概念；了解平面點集的幾個基本定理以及閉區域上多元連續函數的性質。

（十八）多元函數的微分學
　　1、偏導數與全微分：偏導數與全微分的概念；可微與可偏導、可微與連續、可偏導與連續的關系。
　　2、復合函數求偏導數以及隱函數求偏導數。

3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。
　　4、方向導數與梯度。
　　5、多元函數的泰勒公式。

6、極值和條件極值
　　要求：理解和掌握偏導數、全微分、方向導數、梯度的概念及其計算；掌握多元函數可微、可偏導和連續之間的關系；會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數的極值、最值；了解多元泰勒公式。

（十九）隱函數存在定理、函數相關
　　1、隱函數：隱函數存在定理；反函數存在定理；雅克比行列式。
　　2、函數相關。
　　要求：了解隱函數的概念及隱函數存在定理，會求隱函數的導數；了解函數行列式的性質以及函數相關。

（二十）含參變量積分以及反常積分
　　1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導交換次序；兩個個積分號交換次序。
　　2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致收斂的判別法；歐拉積分、函數、函數。
　　要求：理解和掌握積分號下求導數的方法；掌握函數、函數的性質及其相互關系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

（二十一）重積分
　　1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質。
　　2、二重積分的計算：用直角坐標計算二重積分；用極坐標計算二重積分；用一般變換計算二重積分。　　
　　3、三重積分計算：用直角坐標計算三重積分；用柱面坐標計算三重積分；用球面坐標計算三重積分。
　　4、重積分應用：求物體的質心、轉動慣量；求立體體積，曲面的面積；求引力。
　　　要求：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點，會選擇最合適的方法進行積分；掌握并合理運用重積分的對稱性簡化計算；了解柱面坐標和球面坐標積分元素的推導。

（二十二）曲線積分與曲面積分
　　1、第一類曲線積分：第一類曲線積分的概念、性質與計算；第一類曲線積分的對稱性。
　　2、第二類曲線積分：第二類曲線積分的概念、性質與計算；兩類曲線積分的聯系。

3、第一類曲面積分：第一類曲面積分的概念、性質與計算；第一類曲面積分的對稱性。

4、第二類曲面積分：曲面的側；第二類曲面積分的概念、性質與計算；兩類曲面積分的聯系。
　　5、格林公式：曲線積分與路徑的無關的四種等價敘述。
　　6、高斯公式。

7、斯托克斯公式。
　　8、場論初步：梯度；散度；旋度。
　　要求：理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質與計算，會使用對稱性簡化第一類曲線以及曲面積分；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區別和聯系；了解斯托克斯公式和場論初步。

二、考試形式

1. 考試時間

180分鐘。

2．試卷分值

150分。

3．考試方式

閉卷考試。

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